Question

在极坐标系中，已知点A（

2

，0）到直线l：ρsin（θ-

π

4

）=m（m＞0）的距离为3．
（1）求实数m值；
（2）设P是直线l上的动点，Q在线段OP上，且满足|OP||OQ|=1，求点Q轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,轨迹方程

专题：综合题,坐标系和参数方程

分析：（1）ρsin（θ-

π

4

）=m可化为x-y+

2

m=0，利用点A（

2

，0）到直线l：ρsin（θ-

π

4

）=m（m＞0）的距离为3，求出m的值；
（2）直线l：ρsin（θ-

π

4

）=2

2

，设Q（ρ，θ），P（ρ₁，θ），则ρ₁=

1

ρ

，利用P是直线l上的动点，即可求点Q轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．

解答： 解：（1）ρsin（θ-

π

4

）=m可化为x-y+

2

m=0，
∵点A（

2

，0）到直线l：ρsin（θ-

π

4

）=m（m＞0）的距离为3，
∴

| 2 + 2 m|

2

=3，
∴m＞0，
∴m=2；
（2）直线l：ρsin（θ-

π

4

）=2

2

．
设Q（ρ，θ），P（ρ₁，θ），则ρ₁=

1

ρ

，
∵ρ₁sin（θ-

π

4

）=2

2

，
∴sin（θ-

π

4

）=2

2

ρ，
即y-x=4x²+4y²，轨迹为圆．

点评：本题考查轨迹方程，考查极坐标方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．