Question

1．已知公比为q的等比数列{a_n}的前6项和S₆=63，且$4{a_1}，\frac{3}{2}{a_2}，{a_2}$成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设{b_n}是首项为2，公差为-a₁的等差数列，其前n项和为T_n，是否存在n∈N^*，使得不等式T_n＞b_n成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式、求和公式即可得出．
（2）利用等差数列的求和公式可得b_n，T_n，假设存在n∈N^*，使得不等式T_n＞b_n成立，解出即可得出．

解答 解：（1）公比为q的等比数列{a_n}的前6项和S₆=63，且$4{a_1}，\frac{3}{2}{a_2}，{a_2}$成等差数列．
∴q≠1，$\frac{{a}_{1}（{q}^{6}-1）}{q-1}$=63，$2×\frac{3}{2}{a}_{2}$=4a₁+a₂，即3q=4+q，解得q=2，a₁=1．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=2-（n-1）=3-n．
T_n=$\frac{n（2+3-n）}{2}$=$\frac{n（5-n）}{2}$，
假设存在n∈N^*，使得不等式T_n＞b_n成立，
则$\frac{n（5-n）}{2}$＞3-n，
解得1＜n＜6，可得n=2，3，4，5．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．