Question

10．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．
（1）求此时该外国船只与D岛的距离；
（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．

Answer 1

分析 （1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；
（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin∠EAH，则∠EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，由$v≥\frac{AE}{t}$求得速度的最小值．
法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点$E（10，10\sqrt{3}-4t）$，结合ED=12，得$E（10，4\sqrt{5}）$，列等式求得t，则$tan∠EAD=\frac{EH}{AH}=\frac{{4\sqrt{5}}}{10}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$∠EAD=arctan\frac{{2\sqrt{5}}}{5}≈{41.81°}$，再由$v≥\frac{AE}{t}$求得速度的最小值．

解答 解：（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，
由余弦定理得DB²=AD²+AB²-2AD•AB•cos60°=18²+20²-2×18×15×cos60°=364，
∴$DB=2\sqrt{91}$，
即此时该外国船只与D岛的距离为$2\sqrt{91}$海里；
（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，
在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD-AH=8，
以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，
在Rt△DEH中，HE=$\sqrt{E{D}^{2}-H{D}^{2}}=4\sqrt{5}$，∴$BE=10\sqrt{3}-4\sqrt{5}$，
又AE=$\sqrt{A{H}^{2}+H{E}^{2}}=6\sqrt{5}$，
∴sin∠EAH=$\frac{HE}{AE}=\frac{4\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=\frac{2}{3}$，则$∠EAH=arcsin\frac{2}{3}$≈41.81°．
外国船只到达点E的时间$t=\frac{BE}{4}=\frac{{5\sqrt{3}-2\sqrt{5}}}{2}≈2.09$（小时）．
∴海监船的速度$v≥\frac{AE}{t}=\frac{{6\sqrt{5}}}{{\frac{{5\sqrt{3}-2\sqrt{5}}}{2}}}≈6.4$（海里/小时）．
又90°-41.81°=48.2°，
故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时．
法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．
则A（0，0），D（18，0），$B（10，10\sqrt{3}）$，设经过t小时外国船到达点$E（10，10\sqrt{3}-4t）$，
又ED=12，得$E（10，4\sqrt{5}）$，此时$t=\frac{{10\sqrt{3}-4\sqrt{5}}}{4}≈2.09$（小时）．
则$tan∠EAD=\frac{EH}{AH}=\frac{{4\sqrt{5}}}{10}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$∠EAD=arctan\frac{{2\sqrt{5}}}{5}≈{41.81°}$，
∴监测船的航向东偏北41.81°．
∴海监船的速度$v≥\frac{AE}{t}=\frac{{6\sqrt{5}}}{{\frac{{10\sqrt{3}-4\sqrt{5}}}{4}}}≈6.4$（海里/小时）．

点评 本题是应用题，考查简单的数学建模思想方法，考查了直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．