Question

1．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；
（1）当m=2时，解不等式$f（\frac{1}{x}）＞1$；
（2）若f（0）=1，且$f（x）={（\frac{1}{{\sqrt{2}}}）^x}+λ$在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；
（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2ⁿx）]＜lg2对任意n∈N均成立，求实数x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）根据对数的运算解不等式即可．
（2）根据f（0）=1，求f（x）的解析式，根据$f（x）={（\frac{1}{{\sqrt{2}}}）^x}+λ$在闭区间[2，3]上有实数解，分离λ，可得λ=lg（x+10）-$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{x}$，令F（x）=lg（x+10）-$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{x}$，求在闭区间[2，3]上的值域即为λ的范围．
（3）函数f（x）的图象过点（98，2），求f（x）的解析式，可得f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2ⁿx）]＜lg2转化为lg（2+cos（2ⁿx））＜lg2转化为$\left\{\begin{array}{l}{2+cos（{2}^{n}x）＞0}\\{cos（{2}^{n}x）＜0}\end{array}\right.$，求解x，又∵2+x＞0，即x＞-2和n∈N．讨论k的范围可得答案．

解答 解：函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；
（1）当m=2时，f（x）=lg（x+2）
那么：不等式$f（\frac{1}{x}）＞1$；即lg（$\frac{1}{x}$+2）＞lg10，
可得：$\frac{1}{x}+2＞10$，且$\frac{1}{x}+2＞0$
解得：$0＜x＜\frac{1}{8}$．
∴不等式的解集为{x|$0＜x＜\frac{1}{8}$}
（2）∵f（0）=1，可得m=10．
∴f（x）=lg（x+10）
$f（x）={（\frac{1}{{\sqrt{2}}}）^x}+λ$，即lg（x+10）=$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{x}+λ$在闭区间[2，3]上有实数解，
可得λ=lg（x+10）-$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{x}$
令F（x）=lg（x+10）-$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{x}$，求在闭区间[2，3]上的值域．
根据指数和对数的性质可知：F（x）是增函数，
∴F（x）在闭区间[2，3]上的值域为[lg12-$\frac{1}{2}$，lg13-$\frac{\sqrt{2}}{4}$]
故得实数λ的范围是[lg12-$\frac{1}{2}$，lg13-$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．
（3）∵函数f（x）的图象过点（98，2），
则有：2=lg（98+m）
∴m=2．
故f（x）=lg（2+x）
那么：不等式f[cos（2ⁿx）]＜lg2转化为lg（2+cos（2ⁿx））＜lg2
即cos（2ⁿx）＜0对n∈N均成立，
若x是满足条件的实数，则有cosx≤-$\frac{1}{4}$，
因为，若-$\frac{1}{4}$＜cosx＜0，则cos2x=2cos²x-1＜-$\frac{7}{8}$，则cos4x=2cos²2x-1＞0，
所以必有cos（2ⁿx）≤-$\frac{1}{4}$；
得|cos（2ⁿx）-$\frac{1}{2}$|≥$\frac{3}{4}$，又|cos2x+$\frac{1}{2}$|=2|cosx+$\frac{1}{2}$||cosx-$\frac{1}{2}$|≥$\frac{3}{2}$|cosx+$\frac{1}{2}$|，
得|cosx+$\frac{1}{2}$|≤$\frac{2}{3}$|cos2x+$\frac{1}{2}$|，重复运用得到|cosx+$\frac{1}{2}$|≤…≤$（\frac{2}{3}）^{n}$|cos（2ⁿx）+$\frac{1}{2}$|＜$（\frac{2}{3}）^{n}$
n为自然数，∴cosx+$\frac{1}{2}$=0，
级x=2kπ±$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
验证，当x=2kπ±$\frac{2π}{3}$，k∈Z时，有cos（2ⁿx）=-$\frac{1}{2}$，满足题意．
所以，x的取值范围为{x|x=2kπ±$\frac{2π}{3}$，k∈Z}

点评 本题考查了对数的性质及其运算以及不等式恒成立的问题在对数与三角函数中的运用．有点难度．