Question

13．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BB₁=2，求：
（1）异面直线B₁C₁与A₁C所成角的大小；
（2）四棱锥A₁-B₁BCC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由B₁C₁∥BC，知∠BCA₁是异面直线B₁C₁与A₁C所成角，由此能求出异面直线B₁C₁与A₁C所成角大小．
（2）四棱锥A₁-B₁BCC₁的体积V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-{V}_{{A}_{1}-ABC}$，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁C₁∥BC，
∴∠BCA₁是异面直线B₁C₁与A₁C所成角，…（2分）
在△BCA₁中，BC=1，${A}_{1}B=\sqrt{5}$，${A}_{1}C=\sqrt{5}$，
∴cos∠BCA₁=$\frac{B{C}^{2}+C{{A}_{1}}^{2}-B{{A}_{1}}^{2}}{2BC•C{A}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，…（5分）
∴$∠BC{A_1}=arccos\frac{{\sqrt{5}}}{10}$，
∴异面直线B₁C₁与A₁C所成角大小为arccos$\frac{\sqrt{5}}{10}$．…（7分）
（2）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BB₁=2，
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABC•AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
${V}_{{A}_{1}-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•A{A}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴四棱锥A₁-B₁BCC₁的体积V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-{V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（14分）

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．