Question

1．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，-2），斜率为1的直线l过它的右焦点F，且与椭圆相交于B、P两点．求：
（1）椭圆C的方程；
（2）以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点P的抛物线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=2，求得直线l的方程，代入B的坐标，可得c=2，再由a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆的方程；
（2）由直线方程y=x-2代入椭圆方程，求得P的坐标，再设过P的抛物线的方程为y²=mx或x²=ny，代入P的坐标，解方程可得m，n，进而得到抛物线的方程．

解答 解：（1）由题意可得b=2，
设右焦点F（c，0），设直线l的方程为y=x-c，
由题意可得0-c=-2，解得c=2，
即有a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由直线方程y=x-2，代入椭圆方程，可得
3x²-8x=0，
解得x=0或$\frac{8}{3}$，
可得P（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$），
设过P的抛物线的方程为y²=mx或x²=ny，
即有$\frac{4}{9}$=$\frac{8}{3}$m，或$\frac{64}{9}$=$\frac{2}{3}$n，
解得m=$\frac{1}{6}$或n=$\frac{32}{3}$．
则所求抛物线的方程为y²=$\frac{1}{6}$x或x²=$\frac{32}{3}$y．

点评 本题考查椭圆和抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题，