Question

12．已知向量$\vec a$=（sinθ，cosθ），$\vec b$=（1，-2），满足$\vec a⊥\vec b$．
（1）求tanθ的值；
（2）求$\frac{{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）（sinθ+2cosθ）}}{cos2θ}$的值．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直求出sinθ=2cosθ，由此能求出tanθ．
（2）利用正弦加法定理和余弦二倍角公式把原式转化为$\frac{sinθ+2cosθ}{cosθ-sinθ}$，再利用同角三角函数关系式能求出结果．

解答 解：（1）∵$\vec a$=（sinθ，cosθ），$\vec b$=（1，-2），满足$\vec a⊥\vec b$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sinθ-2cosθ=0，
∴sinθ=2cosθ，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=2
（2）$\frac{{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）（sinθ+2cosθ）}}{cos2θ}$
=$\frac{\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ）}{（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）}$
=$\frac{sinθ+2cosθ}{cosθ-sinθ}$
=$\frac{tanθ+2}{1-tanθ}$
=$\frac{2+2}{1-2}$=-4．

点评 本题考查三角函数化简求值，是中档题，解题时要注意向量垂直、正弦加法定理、余弦二倍角公式、同角三角函数关系式的合理运用．