Question

3．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）求证：对任意m∈R直线l与圆C总有两个交点A，B；
（2）若定点P（1，1）分弦AB为$|AP|=\frac{1}{2}|PB|$，求此直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据直线l的方程可得直线经过定点H（1，1），而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径，
故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，命题得证．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$|AP|=\frac{1}{2}|PB|$，得$1-{x_1}=\frac{1}{2}（{x_2}-1）$，将直线与圆的方程联立得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，利用韦达定理得出结论．

解答 （1）证明：由于直线l的方程是mx-y+1-m=0，即y-1=m（x-1），
直线恒过定点（1，1），且这个点在圆内，故直线L与圆C总有两个不同的交点．
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$|AP|=\frac{1}{2}|PB|$，得$1-{x_1}=\frac{1}{2}（{x_2}-1）$，
即x₂=3-2x₁…①．
将直线与圆的方程联立得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$ …②，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-5}}{{1+{m^2}}}$…③
①②联立可得x₁=$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，${x_2}=\frac{{{m^2}-3}}{{1+{m^2}}}$代入③得m=±1，
所以直线方程为x-y=0或x+y-2=0．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，直线过定点问题，求直线方程，属于中档题．