Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且满足a_na_n+1=2S_n，数列{b_n}满足b₁=16，b_n+1-b_n=2n，则数列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$中第4项最小．

Answer 1

分析 利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：当n=1时，2S₁=a₁a₂，即2a₁=a₁a₂，∴a₂=2．
当n≥2时，2S_n=a_na_n+1，2S_n-1=a_n-1a_n，两式相减得2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2，
∴{a_2k-1}，{a_2k}都是公差为2的等差数列，又a₁=1，a₂=2，
∴{a_n}是公差为1的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n，
∵b₁=16，b_n+1-b_n=2n，∴b_n =（ b_n -b_n-1^）+（ b_n-1 -b_n-2^）+ （ b_n-2 -b_n-3^）+…+（ b₂ -b_1^）+b₁=n（n-1）+16
$\frac{bn}{an}$=n+$\frac{16}{n}$-1，利用基本不等式得n=4时n+$\frac{16}{n}$-1最小，∴数列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$中第 4项最小．

点评 求a_n通项公式时要比较奇数项和偶数项通项特征，求a_n通项公式时用累加法，最后用基本不等式求最值．