Question

17．M是抛物线y²=4x上一点，F是焦点，且MF=4．过点M作准线l的垂线，垂足为K，则三角形MFK的面积为4$\sqrt{3}$．该抛物线的焦点与双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的一个焦点相同，且双曲线的离心率为2，那么该双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 设M（m，n），则m=$\frac{{n}^{2}}{4}$，求得抛物线的焦点坐标，准线方程，运用抛物线的定义，求得m，n，再由三角形的面积公式计算三角形MFK的面积；运用双曲线的离心率公式可得c=2a=1，再由a，b，c的关系，求得b，由渐近线方程即可得到所求．

解答 解：设M（m，n），则m=$\frac{{n}^{2}}{4}$，
焦点F（1，0），准线l：x=-1，
由抛物线的定义可得MF=m+1=4，
可得m=3，n=±2$\sqrt{3}$，
则三角形MFK的面积为$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
由题意可得c²=a²+b²=1，
e=$\frac{c}{a}$=2，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±$\sqrt{3}$x．
故答案为：4$\sqrt{3}$，y=±$\sqrt{3}$x，．

点评 本题考查抛物线的焦点和准线，以及定义的运用，同时考查双曲线的焦点和渐近线方程和离心率，考查运算能力，属于中档题．