Question

14．在△ABC中，点D满足$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$，点E是线段AD上的一个动点，若$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，则t=（λ-1）²+μ²的最小值是（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{82}}}{4}$
• C． $\frac{9}{10}$
• D． $\frac{41}{8}$

Answer 1

分析 根据共线向量基本定理可得到存在实数k，$\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AD}$，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到$\overrightarrow{AE}=\frac{k}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3k}{4}\overrightarrow{AC}$，从而得到$λ=\frac{k}{4}，μ=\frac{3k}{4}$．代入t，进行配方即可求出t的最小值．

解答 解：如图，
E在线段AD上，所以存在实数k使得$\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AD}，0≤k≤1$；
$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AE}=k（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）$=$k[\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）]$=$\frac{k}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3k}{4}\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{k}{4}}\\{μ=\frac{3k}{4}}\end{array}\right.$；
∴$t=（\frac{k}{4}-1）^{2}+\frac{9}{16}{k}^{2}$=$\frac{5}{8}（k-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{9}{10}$；
∴$k=\frac{2}{5}$时，t取最小值$\frac{9}{10}$．
故选：C．

点评 考查共线向量基本定理，向量的加法、减法的几何意义，以及平面向量基本定理，配方法求二次函数最值．