Question

16．设f（n）=（a+b）ⁿ（n∈N^*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次差数列，则称f（n）具有性质P．
（1）求证：f（7）具有性质P；
（2）若存在n≤2015，使用f（n）具有性质P，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）f（7）=（a+b）⁷，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，可得结论；
（2）由题意，2C_n^r=C_n^r-1+C_n^r+1，整理可得4r（n-r）=（n-2）（n+1），可得（n-2）（n+1）能被4整除，从而n-2或n+1为偶数时，必须能被4整除，结合n≤2015，即可求n的最大值．

解答 （1）证明：f（7）=（a+b）⁷，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，
所以f（7）具有性质P．
（2）解：由题意，2C_n^r=C_n^r-1+C_n^r+1，
整理可得4r（n-r）=（n-2）（n+1），
∴（n-2）（n+1）能被4整除，
∵n-2、n+1一奇一偶，
∴n-2或n+1为偶数时，必须能被4整除，
∵n≤2015
∴n的最大值为2012．

点评 本题考查二项式定理的运用，考查学生对定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．