【题目】如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,AC∩BD=E,AD=2,AB=2,BC=6,求证:平面PBD⊥平面PAC.
【答案】详见解析
【解析】试题分析:先由平面
可证明
,由直角三角形的性质可得
,再由线面垂直的判定定理可得
平面
,利用面面垂直的判定定理可得结果.
试题解析:∵PA⊥平面ABCD,
BD平面ABCD,∴BD⊥PA.
又tan∠ABD==
. tan∠BAC=
=
.
∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,
∴∠AED=90°,即BD⊥AC.
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
∵BD平面PBD.
所以平面PBD⊥平面PAC.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理,属于难题.解答空间几何体中垂直关系时,一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化,转化时要正确运用有关的定理,找出足够的条件进行推理;要证明面面垂直只需证明线面垂直,证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推论;(3)利用面面平行的性质
;(4)利用面面垂直的性质,当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
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【题目】从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
(ⅰ)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);
(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(ⅰ)的结果,求E(X).
附: ≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4.
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【题目】某水果店购进某种水果的成本为,经过市场调研发现,这种水果在未来30天的销售单价
与时间
之间的函数关系式为
,销售量
与时间
的函数关系式为
。
(Ⅰ)该水果店哪一天的销售利润最大?最大利润是多少?
(Ⅱ)为响应政府“精准扶贫”号召,该店决定每销售水果就捐赠
元给“精准扶贫”对象.欲使捐赠后不亏损,且利润随时间
的增大而增大,求捐赠额
的值。
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的方程为
,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴)中,点
的极坐标为
,判断点
与曲线
的位置关系;
(2)设点是曲线
上的一个动点,求它到直线
的距离的最小值.
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【题目】试求下列函数的定义域与值域:
(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};
(2)f(x)=(x-1)2+1;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=x-.
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【题目】已知二次函数满足
(
),且
.
(1)求的解析式;
(2)若关于的方程
在区间
上有唯一实数根,求实数
的取值范围(注:相等的实数根算一个).
(3)函数,试问是否存在实数
,使得对任意
,
都有
成立,若存在,求出实数
的取值范围,若不存在,说明理由.
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【题目】2015男篮亚锦赛决赛阶段,中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军,同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券,赛后,中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛(最有价值球员),下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据.
注:(1)表中表示出手
次命中
次;
(2)(真实得分率)是衡量球员进攻的效率,其计算公式为:
(1)从上述9场比赛中随机选择一场,求易建联在该场比赛中超过50%的概率;
(2)从上述9场比赛中随机选择一场,求易建联在该场比赛中至少有一场超过60%的概率;
(3)用来表示易建联某场的得分,用
来表示中国队该场的总分,画出散点图如图所示,请根据散点图判断
与
之间是否具有线性相关关系?结合实际简单说明理由.
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【题目】一个学生在一次竞赛中要回答道题是这样产生的:从
道物理题中随机抽取
道;从
道化学题中随机抽取
道;从
道生物题中随机抽取
道.使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为
,化学题的编号为
,生物题的编号为
.
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