Question

【题目】已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）四边形的四个顶点都在曲线上，且对角线、过原点，若，求证：四边形的面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明详见解析，定值为．

【解析】

（1）利用椭圆的定义即可得到点的轨迹的方程；

（2）不妨设点、位于轴的上方，则直线的斜率存在，设的方程为，与椭圆方程联立，求出四边形的面积，即可证明结论.

（1）因为在线段的中垂线上，所以．

所以，

所以轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以，

故轨迹的方程．

（2）不妨设点、位于轴的上方，则直线的斜率存在，设的方程为

，，．

联立，得，

则，．①

由，

得．②

由①、②，得．③

设原点到直线的距离为，

，

．④

由③、④，得，故四边形的面积为定值，且定值为．