Question

设A={x|x=kπ+，k∈Z }，已知=（ 2cos，sin），=（cos，3sin），
（1）若α+β=，且=2，求α，β的值．
（2）若=，其中 α，β∈A，求tanαtanβ的值．

Answer 1

解：（1）∵α+β=，
∴=（1，sin（）），=（，3sin（）），（4分）
由=2，，得sin（）=0，
∴α=kπ+，β=-kπ+，k∈Z．（3分）
（2）∵=2cos²+3sin²
=1+cos（α+β）+3×
=+cos（α+β）-cos（α-β）=，（3分）
∴cos（α+β）=cos（α-β），
展开得2cosα•cosβ-2sinα•sinβ=3cosα•cosβ+3sinα•sinβ
即-5sinα•sinβ=cosα•cosβ，
∵α，β∈A，
∴tanα•tanβ=-．（4分）
分析：（1）由α+β=，我们易将向量，化为=（1，sin（）），=（，3sin（））的形式，结合=2，我们构造三角方程，解方程即可求出满足条件的α，β的值．
（2）由已知中=（ 2cos，sin），=（cos，3sin），及=，我们易构造一个关于α，β的关系式，结合两角和与差的余弦公式，我们易求出
-5sinα•sinβ=cosα•cosβ，进而得到答案．
点评：本题考查的知识点是同角三角函数的基本关系，向量加法及其几何意义，平面向量数量积的运算，熟练掌握三角函数公式及向量数量积的定义，是解答本题的关键．