Question

已知函数的导函数是，在处取得极值，且.
（Ⅰ）求的极大值和极小值；
（Ⅱ）记在闭区间上的最大值为，若对任意的总有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）设是曲线上的任意一点．当时，求直线OM斜率的最小值，据此判断与的大小关系，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）极大值为，极小值为；（Ⅱ） ；（Ⅲ）直线斜率的最小值为4，．

解析试题分析：（Ⅰ）根据题意，先求m值，设原函数解析式，由，得原函数解析式，再求导函数，列表求极值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在各个区间上的单调性，对分情况讨论，分和两种情况，分别找出这两种情况下函数的最大值，使得成立，从而求出的取值范围；（Ⅲ）当时，求直线OM斜率表达式，得斜率最小值为4，据此判断，，再利用导数的证明当时，函数大于0 恒成立．
试题解析：解：（I）依题意，，解得，　　             1分
由已知可设，因为，所以，
则，导函数．　　          3分
列表：

		1	（1,3）	3	（3，＋∞）
	+	0	-	0	+
	↗	极大值4	↘	极小值0	↗

由上表可知在处取得极大值为，
在处取得极小值为．　　　　             5分
（Ⅱ）①当时，由（I）知