Question

经过△OAB的重心G（三条中线的交点）作一直线与OA，OB分别交于点P，Q，设

OP

=m

OA

，

OQ

=n

OB

（m，n∈R），则

1

m

+

1

n

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：根据向量的加法，及三角形重心的性质，中线向量可得：

OP

=

1

3

(

OA

+

OB

)+

GP

=m

OA

①，

OQ

=

1

3

(

OA

+

OB

)+

GQ

=n

OB

，因为

GQ

，

GP

共线，所以存在实数λ，使：

GQ

=λ

GP

，所以得到，

1

3

(

OA

+

OB

)+λ

GP

=n

OB

   ②．①②联立消去λ得：

1

3

(λ-1)(

OA

+

OB

)=mλ

OA

-n

OB

，所以得到，

1 3 (λ-1)=mλ 1 3 (λ-1)=-n

，这样可解出λ，并带入

1

3

(λ-1)=-n并整理可得：m+n=3mn，这样即可求出

1

m

+

1

n

．

解答： 解：如图，连接OG并延长交AB于H，则H为AB的中点；
∴

OP

=

OG

+

GP

=

2

3

OH

+

GP

=

1

3

(

OA

+

OB

)+

GP

=m

OA

      ①；
同样，

OQ

=

1

3

(

OA

+

OB

)+

GQ

，∵

GP

，

GQ

共线，∴存在实数λ，使

GQ

=λ

GP

；
∴

OQ

=

1

3

(

OA

+

OB

)+λ

GP

=n

OB

        ②；
∴①•λ-②得：

1

3

(λ-1)(

OA

+

OB

)=mλ

OA

-n

OB

；
∴

1 3 (λ-1)=mλ 1 3 (λ-1)=-n

，解出λ=-

n

m

，带入

1

3

(λ-1)=-n得：

1

3

(-

n

m

-1)=-n，∴m+n=3mn，∴

1

m

+

1

n

=3．
故答案为：3．

点评：本题考查向量的加法运算，中线向量，三角形重心的性质，共面向量基本定理．