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已知实数m,n,若m≥0,n≥0,且m+n=1,则
m2
m+2
+
n2
n+1
的最小值为(  )
A、
1
4
B、
4
15
C、
1
8
D、
1
3
考点:利用导数研究函数的极值,基本不等式
专题:导数的综合应用
分析:由m≥0,n≥0,且m+n=1,可得n=1-m,(0≤m≤1).代入
m2
m+2
+
n2
n+1
,再利用导数研究其单调性极值即可.
解答:解:∵m≥0,n≥0,且m+n=1,∴n=1-m,(0≤m≤1).
∴f(m)=
m2
m+2
+
n2
n+1
=
m2
m+2
+
(1-m)2
2-m
=
4
m+2
+
1
2-m
-2

则f′(m)=
(6-m)(3m-2)
(m2-4)2

令f′(m)=0,0≤m≤1,解得m=
2
3

0≤m<
2
3
时,f′(m)<0;当
2
3
<m≤1
时,f′(m)>0.
∴当m=
2
3
时,f(m)取得极小值即最小值,f(
2
3
)
=
4
2
3
+2
+
1
2-
2
3
-2
=
1
4

故选:A.
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

下列说法正确的是(  )
A、若命题p:“?x0∈R,x02+x0+1<0”,则¬p:“?x0∈R,x02+x0+1≥0”B、命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+x-m=0无实根,则m<0”C、已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以4为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件D、若p∧q为假命题,则p,q均为假命题

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科目:高中数学 来源: 题型:

若实数k满足0<k<9,则曲线
x2
25
-
y2
9-k
=1与曲线
x2
25-k
-
y2
9
=1的(  )
A、焦距相等
B、实半轴长相等
C、虚半轴长相等
D、离心率相等

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有对称中心M(x0,f(x0)),记函数f(x)的导函数为f′(x),f′(x)的导函数为f″(x),则有f″(x)=0.若函数f(x)=x3-3x2,则f(
1
2014
)+f(
2
2014
)+f(
3
2014
)+…+f(
4027
2014
)=(  )
A、4027B、-4027
C、8054D、-8054

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科目:高中数学 来源: 题型:

若函数f(x)=
1
3
x3+x2-ax
在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,则实数a的取值范围是(  )
A、(
4
3
,3)
B、(
4
3
10
3
C、(
4
3
,3]
D、(-∞,3]

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科目:高中数学 来源: 题型:

在回归分析中,下列结论错误的是(  )
A、利用最小二乘法所求得的回归直线一定过样本点的中心
B、可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好
C、由测算,某地区女大学生的身高(单位:cm)预报体重(单位:kg)的回归方程是
y
=0.849x-85.712,则对于身高为172cm的女大学生,其体重一定是60.316kg
D、可用残差图判断模型的拟合效果,参差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适,带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图是两个分类变量X、Y的部分2×2列联表,则K2的观测值为
 

y1 y2
x1 10 50
x2 20 40

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科目:高中数学 来源: 题型:

复数
2+i
1-2i
等于(  )
A、-
3
5
i
B、
3
5
i
C、-i
D、i

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,若DB=
3
,则DC=
 

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