Question

2．已知椭圆C方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．
（1）求椭圆C方程；
（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，可得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，又e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为：$y=-\frac{1}{k}$x．（k≠0）．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得${x}_{E}^{2}$，${y}_{E}^{2}$．可得：|EF|²=4（${x}_{E}^{2}$+${y}_{E}^{2}$）．同理可得：x_D，y_D．|OD|²．设△DEF的面积=S．可得S²=$\frac{1}{4}|EF{|}^{2}|OD{|}^{2}$，化简利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，又e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²，
联立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为：$y=-\frac{1}{k}$x．（k≠0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得${x}_{E}^{2}$=$\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，${y}_{E}^{2}$=$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∴|EF|²=4（${x}_{E}^{2}$+${y}_{E}^{2}$）=$\frac{16（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$．
同理可得：x_D=$\frac{-2k}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$，y_D=$\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$．
|OD|²=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$．
设△DEF的面积=S．
∴S²=$\frac{1}{4}|EF{|}^{2}|OD{|}^{2}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{16（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$×$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$=$\frac{16（1+{k}^{2}）^{2}}{4+17{k}^{2}+4{k}^{4}}$=f（k），
令1+k²=t＞1，则f（k）=$\frac{16{t}^{2}}{4{t}^{2}+9t-9}$=$\frac{16}{-9（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{25}{4}}$$≥\frac{64}{25}$．
当且仅当t=2，k=-1时取等号．
∴△DEF的面积存在最小值$\frac{8}{5}$．
此时D$（\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{5}}{5}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、相互垂直的直线斜率之间的关系、“换元法”、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．