Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=6，BC=BB1=

2

，点P是线段BC₁上的一动点，则AP+PB₁的最小值是（　　）

• A、2+

  2

• B、不等的实数根．结合图形可知：k∈(0，

  4

  27

  )
• C、4

  2

• D、5

  2

Answer 1

分析：如图，将△BB₁C₁沿BC₁为轴旋转至与平面ABC₁共面，得△BB₁C₁，可得出∠ABB₁=135°，由余弦定理求出此时的AB₁的长度，再比较四个选项，选出正确答案

解答：解：如图，将△BB₁C₁沿BC₁为轴旋转至与平面ABC₁共面，
得△BB₁C₁，
则∠ABB₁=135°，故 AP+PB₁=AP+PB₁≥AB1=

62+( 2 )2-2×6× 2 cos135°

=5

2

．
等号当且仅当P为AB₂与BC₁的交点时取得．
故选D．

点评：本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，求解本题的关键是借助图形的翻折，将求折线长度的问题转化为平面上线段长度的问题求解，熟练掌握棱柱的几何特征及余弦定理也求解这个题的知识上的保证．本题易因为没有想起转化方向而导致解题失败