【题目】已知点A的坐标为(4,1),点B(﹣7,﹣2)关于直线y=x的对称点为C.
(Ⅰ)求以A、C为直径的圆E的方程;
(Ⅱ)设经过点A的直线l与圆E的另一个交点为D,|AD|=8,求直线l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)点B(﹣7,﹣2)关于直线y=x的对称点为C(﹣2,﹣7),
∵AC为直径,AC中点E的坐标为(1,﹣3),
∴圆E的半径为|AE|=5,
∴圆E的方程为(x﹣1)2+(y+3)2=25.
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,易求|AD|=8,此时直线l的方程为x=4,
当直线l的斜率存在时,设l:y﹣1=k(x﹣4),
∴圆心E到直线l的距离d= ,
∵圆E的半径为5,|AD|=8,所以d=3,
∴ =3,解得k= ,
∴直线l的方程为7x﹣24y﹣4=0.
综上所述,直线l的方程为x=4或7x﹣24y﹣4=0
【解析】(Ⅰ)先根据题意求得点C的坐标,进而求得以线段AC为直径的圆的圆心坐标及半径,即可求得圆E的方程;(Ⅱ)求直线方程时,先根据直线斜率是否存在进行分类讨论.
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【题目】已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
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【题目】已知函数()
(1)若,用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数在[0,π]上的图象.
(2)若偶函数,求
(3)在(2)的前提下,将函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求在的单调递减区间.
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【题目】“a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+(a﹣2)y+1=0平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道(, 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点, 分别落在线段上.已知米, 米,记.
(1)试将污水净化管道的总长度 (即的周长)表示为的函数,并求出定义域;
(2)问当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的总长度.
(提示: .)
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【题目】已知圆.(14分)
(1)此方程表示圆,求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点,且(O为坐标原点),求m的值;
(3)在(2)的条件下,求以为直径的圆的方程.
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【题目】如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD,设∠DAB=θ,θ∈(0, ),以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1 , 以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2 , 则( )
A.随着角度θ的增大,e1增大,e1e2为定值
B.随着角度θ的增大,e1减小,e1e2为定值
C.随着角度θ的增大,e1增大,e1e2也增大
D.随着角度θ的增大,e1减小,e1e2也减小
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