Question

8．设函数f（x）=3ax²-2（a+b）x+b（0≤x≤1），其中a＞0，b为任意常数．
（Ⅰ）若b=$\frac{1}{2}$，f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|在x∈[0，1]有两个不同的解，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）当b=2，|f（1）|≤2时，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值，关于a的不等式，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，求出|f（x）|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）b=$\frac{1}{2}$时，f（x）=3ax²-（2a+1）x+$\frac{1}{2}$，
而$f（\frac{1}{2}）=-\frac{a}{4}＜0$，
①当$0≤x＜\frac{1}{2}$时，则$3a{x^2}-（2a+1）x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-x$，
即3ax²-2ax=0，解得x=0，
②当$\frac{1}{2}≤x≤1$时，则$3a{x^2}-（2a+1）x+\frac{1}{2}=x-\frac{1}{2}$，
即3ax²-2（a+1）x+1=0，
令t（x）=3ax²-2（a+1）x+1，
因为$t（\frac{1}{2}）=-\frac{a}{4}＜0$，只要t（1）=a-1≥0即可，
所以a≥1；
（Ⅱ）当b=2时，f（x）=3ax²-2（a+2）x+2，f（0）=2，f（1）=a-2
设|f（x）|的最大值为M，由|f（1）|≤2及a＞0得0＜a≤4，
于是f（x）的对称轴$x=\frac{a+2}{3a}=\frac{1}{3}（1+\frac{2}{a}）∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$
（1）当$\frac{2+a}{3a}≥1$，即0＜a≤1时，函数f（x）在[0，1]是减函数，
M=max{|f（0）|，|f（1）|}=2；
（2）当$\frac{1}{2}≤\frac{2+a}{3a}＜1$，即1＜a≤4时，
$|{f（\frac{a+2}{3a}）}|=|{\frac{{{{（a+2）}^2}}}{3a}-2\frac{{{{（a+2）}^2}}}{3a}+2}|=|{2-\frac{{{{（a+2）}^2}}}{3a}}|=|{\frac{{{a^2}-2a+4}}{3a}}|$
=$\frac{{{a^2}-2a+4}}{3a}=\frac{1}{3}（a+\frac{4}{a}-2）≤1＜2$，
所以$M=max\left\{{|{f（0）}|，|{f（1）}|，|{f（\frac{a+2}{3a}）}|}\right\}=2$，
综上所述，|f（x）|的最大值为2．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道综合题．