【题目】如图,已知三棱柱,侧面为菱形,.
(1)求证:平面;
(2)若,,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)由为菱形,得,又由,连接,得,即可证明平面;(2)法一:证明得到进一步证得,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立坐标系求平面的法向量与平面的法向量,利用二面角向量公式求解即可;法二:证明得到设,得,因此为等腰三角形,证得也为等腰三角形,取的中点,连接,则为二面角的平面角,在中,运用余弦定理求解角即可.
(1)因为侧面为菱形,所以,
因为,连接,所以,,
所以平面
(2)解法一:
因为,则
所以,又,可得
,,
令,则,
如图,
以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立坐标系.
设平面的法向量为
,令,则
同理平面的法向量为,
所以,二面角的余弦值为
(2)解法二:
因为,则
所以,设,因为,侧面为菱形,所以,
又因为,可得, 所以,因此为等腰三角形,
那么也为等腰三角形,取的中点,连接,则为二面角的平面角
在中,可得
所以
所以,二面角的余弦值为
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【题目】已知箱中装有10个不同的小球,其中2个红球、3个黑球和5个白球,现从该箱中有放回地依次取出3个小球.则3个小球颜色互不相同的概率是_____;若变量ξ为取出3个球中红球的个数,则ξ的数学期望E(ξ)为_____.
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【题目】某校高二年级共有800名学生参加了数学测验(满分150分),已知这800名学生的数学成绩均不低于90分,将这800名学生的数学成绩分组如:,,,,,得到的频率分布直方图如图所示,则下列说法中正确的是( )
①;②这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160; ③这800名学生数学成绩的中位数约为121.4;④这800名学生数学成绩的平均数为125.
A.①②B.②③C.②④D.③④
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【题目】已知点在椭圆上,为坐标原点,直线的斜率与直线的斜率乘积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)不经过点的直线(且)与椭圆交于,两点,关于原点的对称点为(与点不重合),直线,与轴分别交于两点,,求证:.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线的极坐标方程为,以极点为直角坐标原点,以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,将曲线向左平移个单位长度,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变,得到曲线
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)已知直线的参数方程为,(为参数),点为曲线上的动点,求点到直线距离的最大值.
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【题目】给出下列四个命题:
①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
②“当为某一实数时可使”是不可能事件
③“明天全天要下雨”是必然事件
④“从100个灯泡(6个是次品)中取出5个,5个都是次品”是随机事件.
其中正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
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【题目】如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.
(I)证明:AE⊥PD;
(II)设AB=PA=2,
①求异面直线PB与AD所成角的正弦值;
②求二面角E-AF-C的余弦值.
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