Question

设双曲线

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆x²+（y-2）²=1无公共点，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A、（1，4）
• B、（1，

  2

  ）
• C、（1，2）
• D、（2，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定双曲线的渐近线方程，利用双曲线的一条渐近线与圆x²+（y-2）²=1无公共点，建立不等式，即可求得离心率的范围

解答： 解：双曲线

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx-ay=0，
∵双曲线的一条渐近线与圆x²+（y-2）²=1无公共点，
∴

|0-2a|

a2+b2

＜1
∴b²＞3a²
∴c²-a²＞3a²
∴c²＞4a²
∵e=

c

a

，
∵e＞2
故选D．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．