Question

如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py

(p>0)上.

(1)求抛物线E的方程;

(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

Answer 1

 (1)解:依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.

设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=4,

y=|OB|cos 30°=12.

因为点B(4,12)在x2=2py上,

所以(4)2=2p×12,解得p=2.

故抛物线E的方程为x2=4y.

(2)证明:由(1)知y=x2,y′=x.

设P(x0,y0),则x0≠0,y0=,且l的方程为

y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.

由得

所以Q为.

设M(0,y1),令·=0对满足y0=(x0≠0)的x0,y0恒成立.

由于=(x0,y0-y1), =,

由·=0,

得-y0-y0y1+y1+=0,

即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)

由于(*)式对满足y0=(x0≠0)的y0恒成立,

所以

解得y1=1.

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).