Question

已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，主视图及左视图是矩形.

（1）求出该几何体的体积；

（2）是棱上的一点，若使直线,试确定点的位置，并证明你的结论；

（3）在（2）成立的条件下，求证:平面.

 

Answer 1

 解：由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高，……………………………………………… 2分

（1）底面是高为的正三角形，易知底面边长为2，

所以底面面积，

所求体积. …………………… 4分

（2）连接，且，因为正三棱柱侧面是矩形，所以点是的中点， ………… 5分

（方法一）若

连接，,

所以所以是的中位线，所以D为的中点.

即为的中点时，. ………………………………… 8分

（方法二）若为棱的中点.

连接，所以是的中位线，

所以又，，所以.

即为的中点时，. ………………………………… 8分

（方法三）在中，过作₁，交与D，所以为的中位线，所以的中点，又，

所以

即为的中点时，. ………………………………… 8分

（3）（方法一）在正三棱柱为正三角形，所以，

又由三棱柱性质知且

平面，所以 ……………………………… 10分

所以. ………………………… 12分

（方法二）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，三角形A₁B₁C₁为正三角形，所以B₁D⊥A₁C₁，又因为AA₁⊥平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥B₁D. AA₁A₁C₁=A₁，AA₁平面AA₁D，A₁ C₁平面AA₁D，所以B₁D⊥平面AA₁D，………………………………………… 10分

又B₁D平面AB₁D，所以平面AB₁D⊥平面AA₁D.  ………………………… 12分