【题目】如图,已知矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直,在直角梯形ABB1N中,AN∥BB1 , AB⊥AN,CB=BA=AN= BB1 .
(1)求证:BN⊥平面C1B1N;
(2)求二面角C﹣C1N﹣B的大小.
【答案】
(1)证明:∵四边形BB1C1C是矩形,∴BC⊥BB1,
∵平面BB1C1C⊥底面ABB1N,平面BB1C1C∩底面ABB1N=BB1,BC平面BB1C1C,
∴BC⊥平面ABB1N,
以B为原点,以BA,BB1,BC为坐标轴建立空间直角坐标系B﹣xyz,
设AB=1,则B(0,0,0),N(1,1,0),B1(0,2,0),C1(0,2,1),C(0,0,1)
∴ =(1,1,0),
=(﹣1,1,0),
=(0,0,1),
∴ =﹣1+1=0,
=0,
∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1,又NB1∩B1C1=B1,
∴BN⊥平面C1B1N.
(2)解: =(﹣1,1,1),
=(﹣1,﹣1,1),
=(0,2,0),
设平面BNC1的法向量为 =(x,y,z),则
,
=0,
∴ ,令x=1得
=(1,﹣1,2),
同理可得平面CNC1的法向量为 =(1,0,1),
∴cos< >=
=
.
∴二面角C﹣C1N﹣B的大小为30°.
【解析】(1)证明BC⊥平面ABB1N,建立空间直角坐标系,利用向量证明BN⊥NB1,BN⊥B1C1,从而可证明BN⊥平面C1B1N;(2)分别求出平面BNC1和平面CNC1的法向量,计算法向量的夹角,从而可得二面角C﹣C1N﹣B的大小.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点,需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题.
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【题目】一个袋子里装有7个球,其中有红球4个,编号分别为1,2,3,4;白球3个,编号分别为2,3,4.从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同).
(Ⅰ)求取出的4个球中,含有编号为3的球的概率;
(Ⅱ)在取出的4个球中,红球编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且满足a1=1,nSn+1﹣(n+1)Sn= ,n∈N*
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
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【题目】若函数h(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心为M(x0 , h(x0)),记函数h(x)的导函数为g(x),则有g′(x0)=0,设函数f(x)=x3﹣3x2+2,则f( )+f(
)+…+f(
)+f(
)= .
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【题目】已知函数在区间
上有最大值4和最小值1.设
.
(1)求的值;
(2)若不等式在
上有解,求实数
的取值范围;
(3)若有三个不同的实数解,求实数
的取值范围.
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【题目】已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x),且f(x+3)为偶函数,f(6)=1,则不等式f(x)>ex的解集为( )
A.(﹣∞,0)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
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【题目】现有4个人参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求出4个人中恰有2个人去 参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记
,求随机变量
的分布列与数学期望
.
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【题目】已知等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前
项和为
,求
;
(3)是否存在正整数,使得
仍为数列
中的项,若存在,求出所有满足的正整数
的值;若不存在,说明理由.
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