【题目】如图,台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向(北偏东)移动,离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市B在A地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系,解决以下问题:
(1) 求台风移动路径所在的直线方程;
(2)求城市B处于危险区域的时间是多少小时?
【答案】(1) (2)10
【解析】试题分析:(Ⅰ) 根据条件建立恰当直角坐标系,由方位角求直线斜率,再根据点斜式写直线方程;(Ⅱ)先求台风移动直线被以B为圆心,300千米为半径的圆所截弦长,利用垂径定理可得,再根据路程与速度、时间关系求城市B处于危险区域的时间
试题解析:解:
法一、
(1)以B为原点,正东方向为轴建立如图所示的直角坐标系,
则台风中心A的坐标是(-400,0),台风移动路径所在的直线方程为
(2)以B为圆心,300千米为半径作圆,和直线相交于
、
两点.可以认为,台风中心移到
时,城市B开始受台风影响(危险区),直到
时,解除影响.
因为点B到直线的距离
,
所以,
而 (小时).所以B城市处于危险区内的时间是10小时.
法二、以A为原点,正东方向为轴建立直角坐标系,
则台风移动路径所在的直线方程为,以B为圆心,300千米为半径作圆,
则圆方程为,以下思路类似法一.
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【题目】如图所示,一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度d的平方和宽度a的乘积成正比,与它的长度l的平方成反比.
(1)在a>d>0的条件下,将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度),枕木的安全负荷会发生变化吗?变大还是变小?
(2)现有一根横截面为半圆(半圆的半径为R= )的柱形木材,用它截取成横截面为长方形的枕木,其长度即为枕木规定的长度l,问横截面如何截取,可使安全负荷最大?
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【题目】已知在实数集R上的可导函数f(x),满足f(x+2)是奇函数,且 >2,则不等式f(x)>
x﹣1的解集是( )
A.(﹣∞,2)
B.(2,+∞)
C.(0,2)
D.(﹣∞,1)
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【题目】命题p:关于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2<0的解集是空集,命题q:已知二次函数f(x)=x2﹣mx+2满足 ,且当x∈[0,a]时,最大值是2,若命题“p且q”为假,“p或q”为真,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数 f(x)=sin2x+ sinxcosx+
,x∈R,
(1)求函数f(x)的最小正周期T及在[﹣π,π]上的单调递减区间;
(2)若关于x的方程f(x)+k=0,在区间[0, ]上且只有一个实数解,求实数k的取值范围.
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【题目】已知定点,定直线
,动点
到点
的距离与到直线
的距离之比等于
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)设轨迹与
轴负半轴交于点
,过点
作不与
轴重合的直线交轨迹
于两点
,直线
分别交直线
于点
.试问:在
轴上是否存在定点
,使得
?若存在,求出定点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】若以曲线上任意一点
为切点作切线
,曲线上总存在异于
的点
,以点
为切点作切线
,且
,则称曲线
具有“可平行性”,现有下列命题:
①函数的图象具有“可平行性”;
②定义在的奇函数
的图象都具有“可平行性”;
③三次函数具有“可平行性”,且对应的两切点
,
的横坐标满足
;
④要使得分段函数的图象具有“可平行性”,当且仅当
.
其中的真命题个数有()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】已知已知圆 经过
、
两点,且圆心C在直线
上,求解:(1)圆C的方程;(2)若直线
与圆
总有公共点,求实数
的取值范围.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线 与圆
总有公共点,求实数
的取值范围.
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【题目】下列判断错误的是( )
A.“am2<bm2”是“a<b”的充分不必要条件
B.命题“x∈R,x3﹣x2≤0”的否定是“x∈R,x3﹣x2﹣1>0”
C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题
D.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
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