Question

【题目】已知函数 f（x）=sin2x+ sinxcosx+ ，x∈R，
（1）求函数f（x）的最小正周期T及在[﹣π，π]上的单调递减区间；
（2）若关于x的方程f（x）+k=0，在区间[0， ]上且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知 ，

= ，

=

∴

又因为 ，

∴ ．

当k=0时 ；

当k=﹣1时 ，

∴函数f（x）在[﹣π，π]的单调递减区间为 ，

（2）解：由 ，

所以 ，

∴ ，

f（x）+k=0在区间 上有且只有一个实数解，

即函数 与y=﹣k﹣2在区间 上有且只有一个交点，

由函数的图象可知 ﹣k﹣2=1

∴

【解析】（1）由二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，由f（x）的最小正周期T= = ，即可求得f（x）的最小正周期，根据正弦函数的单调性，即可求得[﹣π，π]上的单调递减区间；（2）由 ，求得 ，则f（x）+k=0在区间 上有且只有一个实数解，由函数图象即可求得实数k的取值范围．