【题目】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.设数列
的前n项和为
且满足
(1)求数列的通项公式;
(2)若求正整数
的值;
(3)是否存在正整数,使得
恰好为数列
的一项?若存在,求出所有满足条件的正整数
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)存在两个正整数
;
1或2
【解析】
(1)设的奇数项构成的等差数列的公差为
,偶数项构成的等比数列的公比为
,运用通项公式,解方程可得
,
,即可得到所求通项公式;(2)当
为奇数时,当
为偶数时,运用通项公式,解方程可得
的值;(3)求得
,
,若
为数列
中的一项,整理化简求得
,
的值,再由数学归纳法证明,即可得到结论.
(1)设的奇数项构成的等差数列的公差为
偶数项构成的等比数列的公比为
则
由已知,得
故数列的通项公式为:
(2)当k为奇数时,由得
由于而
仅在
时为正整数,与
为奇数矛盾!
当k为偶数时,由得
综上,得
(3)由(1)可求得
若为数列
中的一项,则
(
为正奇数)或
(
为正偶数)
(i)若(
为正奇数),则
当时,
,结论成立;
当时,
由
得
解得
由于为正奇数,故此时满足条件的正整数k不存在.
(ii)若(
为正偶数),
显然,则
由得
得
由为正偶数得
为正偶数,因此
,从而
当时,
;下面用数学归纳法证明:当
时,
①当时,显然
;
②假设当 时,有
;则当
时,
由得
,
故
即时,结论成立.
由①,②知:时,
综合(i),(ii)得:存在两个正整数,
1或2,使
为数列
中的项.
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【题目】已知函数其中a为常数,设e为自然对数的底数.
(1)当时,求
过切点为
的切线方程;
(2)若在区间
上的最大值为
,求a的值;
(3)若不等式恒成立,求a的取值范围.
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【题目】为响应绿色出行,某市在推出“共享单车”后,又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费的标准由两部分组成:①根据行驶里程数按1元/公里计费;②行驶时间不超过分时,按
元/分计费;超过
分时,超出部分按
元/分计费.已知王先生家离上班地点
公里,每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素,每次路上开车花费的时间
(分)是一个随机变量.现统计了
次路上开车花费时间,在各时间段内的频数分布情况如下表所示:
时间 | ||||
频数 |
将各时间段发生的频率视为概率,每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分.(1)写出王先生一次租车费用
(元)与用车时间
(分)的函数关系式;(2)若王先生一次开车时间不超过
分为“路段畅通”,设
表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数,求的分布列和期望.
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【题目】已知数列与
满足
,
.
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若,且数列
是公比等于2的等比数列,求
的值,使数列
也是等比数列;
(3)若,且
,数列
有最大值
与最小值
,求
的取值范围.
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【题目】设点分别是棱长为2的正方体
的棱
的中点.如图,以
为坐标原点,射线
、
、
分别是
轴、
轴、
轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
(1)求向量与
的数量积;
(2)若点分别是线段
与线段
上的点,问是否存在直线
,
平面
?若存在,求点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某公司生产的某批产品的销售量万件(生产量与销售量相等)与促销费用
万元满足
(其中
,
为正常数).已知生产该产品还需投入成本
万元(不含促销费用),产品的销售价格定为
元
件.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用
万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?
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【题目】对于双曲线,若点P(x0,y0)满足
,则称P在
的外部,若点P(x0,y0)满足
>1,则称
在的内部;
(1)若直线y=kx+1上的点都在C(1,1)的外部,求k的取值范围;
(2)若C(a,b)过点(2,1),圆x2+y2=r2(r>0)在C(a,b)内部及C(a,b)上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半,求b、r满足的关系式及r的取值范围;
(3)若曲线|xy|=mx2+1(m>0)上的点都在C(a,b)的外部,求m的取值范围.
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【题目】
(本题满分15分)已知m>1,直线,
椭圆,
分别为椭圆
的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点
时,求直线
的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
两点,
,
的重心分别为
.若原点
在以线段
为直径的圆内,求实数
的取值范围.
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【题目】高铁是我国国家名片之一,高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示,B、E、F为山脚两侧共线的三点,在山顶A处测得这三点的俯角分别为、
、
,计划沿直线BF开通穿山隧道,现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.
(1)求出线段AE的长度;
(2)求出隧道CD的长度.
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