Question

（14分）已知函数.

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，求证：

Answer 1

（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）；（3）略

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）由k=e得，所以．

由得，故的单调递增区间是，

由得，故的单调递减区间是．

（Ⅱ）由可知是偶函数．

于是对任意成立等价于对任意成立．

由得．

①当时，．

此时在上单调递增．

故，符合题意．

②当时，．

当x变化时的变化情况如下表：

x		lnk
	-	0	+
	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在上，．

依题意，，又．

综合①，②得，实数k的取值范围是． -----5分

（Ⅲ），

，

，

由此得，

故．

考点：本题考查利用导数研究函数的单调性，求最值，恒成立的问题，不等式的证明