Question

已知函数f（x）=

1+sinx

2+cosx

-ax（a∈R）既有最大值又有最小值，则f（x）值域为

[0，

4

3

]

．

Answer 1

分析：因为y=x的值域为R，所以根据条件可知a=0，然后根据三角函数的辅助角公式求函数的值域即可．

解答：解：∵函数y=x的值域为R，
∴要使函数f（x）=

1+sinx

2+cosx

-ax（a∈R）既有最大值又有最小值，
则必有a=0，
∴y=f（x）=

1+sinx

2+cosx

，
即2y+ycosx=1+sinx，
∴sinx-ycosx=2y-1
即

1+y2

sin(x+θ)=2y-1，θ为参数，
∴sin（x+θ）=

2y-1

1+y2

，
∵|sin（x+θ）|≤1，
∴|

2y-1

1+y2

|≤1，
平方得3y²-4y≤0，解得0≤y≤

4

3

，即f （x）值域为 [0，

4

3

]．
故答案为：[0，

4

3

]．

点评：本题考查了函数的值域的求法，利用条件确定a=0是解决本题的关键，利用辅助角公式将三角函数化简，利用三角函数的有界性是解决本题的关键．