Question

已知抛物线C顶点在原点，焦点F在x正半轴上，抛物线C上点（1，t）到其准线距离为

5

4

．
（Ⅰ）求抛物线C方程．
（Ⅱ）如图：若斜率为1的直线l交抛物线C于不同两点P，Q，在x轴上有两点M，N，且PF=MF，QF=FN，直线MP，NQ交于点T，连结PF，QF，TF，记 S₁=S_△TFP，S₂=S_△QFT，S₃=S_△PQT．
（1）证明：直线PM与抛物线C相切．
（2）求

S1•S2

S32

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用抛物线C上点（1，t）到其准线距离为

5

4

，求出p，即可求抛物线C方程．
（Ⅱ）（1）设出P，Q的坐标，求出直线PM的方程，代入抛物线方程，利用判别式可得结论；
（2）将直线PQ：y=x+m代入y²=x可得y²-y+m=0，计算点F到直线PT的距离，点Q到直线PT的距离，从而可得

S1•S2

S32

，令1-8m+16m²=t，即可求出

S1•S2

S32

的最小值，从而可得取到最小值时直线l的方程．

解答： （Ⅰ）解：∵抛物线C上点（1，t）到其准线距离为

5

4

，
∴

p

2

+1=

5

4

，
∴2p=1，
∴抛物线C方程为y²=x；
（Ⅱ）（1）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意及抛物线的定义知：M（-x₁，0），N（-x₂，0），
∴k_PM=

y1

2x1

=

1

2y1

∴直线PM：y-y₁=

1

2y1

（x-x₁），即x-2y₁y+y₁²=0
代入y²=x可得y²-2y₁y+y₁²=0
∵△=0
∴直线PM与抛物线C相切；
（2）解：

S1•S2

S32

=

S1

S3

•

S2

S3

=

dF-PT

dQ-PT

×

dF-TQ

dP-TQ

，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（-x₁，0），N（-x₂，0）
设PQ：y=x+m，代入y²=x，得x2+(2m-1)x+m2=0，△=(2m-1)2-4m2＞0，m＜

1

4

，x1+x2=1-2m，x1x2=m2，y1+y2=1，y1y2=m，
∴MP：x-2y1y+y12=0，

dF-PT

dQ-PT

=

1+4y12

4(y2-y1)2

，
同理

dF-QT

dP-QT

=

1+4y22

4(y2-y1)2

，
于是

S1•S2

S32

=

1+4[(y1+y2)2-2y1y2]+16(y1y2)2

16[(y1+y2)2-4y1y2]2

=

5-8m+16m2

16(1-8m+16m2)

设1-8m+16m²=t，∵m＜

1

4

，∴t＞0，
∴

S1•S2

S32

=

4+t

16t

=

1

16

(

4

t

+1)＞

1

16

，
∴

S1•S2

S32

∈(

1

16

，+∞)

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形的面积，解题的关键是构建函数关系式，属于中档题．