Question

18．已知log₃5=a，log₅8=b，那么log₂₀75=$\frac{3+6a}{a（2b+3）}$（用a，b表示）．

Answer 1

分析 log₅8=b，利用换底公式可得：$\frac{3lg2}{lg5}$=b，又lg2=1-lg5，可得lg5=$\frac{3}{3+b}$．又log₃5=a，可得lg3=$\frac{3}{a（3+b）}$．代入log₂₀75=$\frac{lg3+2lg5}{2lg2+lg5}$=$\frac{lg3+2lg5}{2-lg5}$，即可得出

解答 解：∵log₅8=b，∴$\frac{3lg2}{lg5}$=b，又lg2=1-lg5，∴3（1-lg5）=blg5，解得lg5=$\frac{3}{3+b}$．
又log₃5=a，∴$\frac{lg5}{lg3}$=a，∴lg3=$\frac{3}{a（3+b）}$．
∴log₂₀75=$\frac{lg3+2lg5}{2lg2+lg5}$=$\frac{lg3+2lg5}{2-lg5}$=$\frac{\frac{3}{a（3+b）}+\frac{6}{3+b}}{2-\frac{3}{3+b}}$=$\frac{3+6a}{a（2b+3）}$．
故答案为：$\frac{3+6a}{a（2b+3）}$．

点评 本题考查了对数的运算性质、换底公式，考查了计算能力，属于中档题．