Question

9．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（0，1），f（x-2）是偶函数．函数f（x）的图象与直线y=2x相切，且切点位于第一象限．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对一切x∈[-1，1]，不等式f（x+t）＜f（$\frac{x}{2}$）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出c=1，再根据f（x-2）为偶函数，列出相应的等式，再结合函数f（x）的图象与直线y=2x相切，由判别式为0，可得解析式；
（2）由题意可得$\frac{1}{4}$（x+t+2）²＜$\frac{1}{4}$（$\frac{x}{2}$+2）²，即为（t+$\frac{x}{2}$）（t+4+$\frac{3x}{2}$）＜0，由x∈[-1，1]，可得-t＞$\frac{1}{2}$且-t＜4-$\frac{3}{2}$，由恒成立思想可得t的范围．

解答 解：（1）由二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（0，1），
则c=1，f（x）=ax²+bx+1，
f（x-2）=a（x-2）²+b（x-2）+1=ax²-（4a-b）x+（4a-2b+1）为偶函数，
即有4a-b=0⇒b=4a，f（x）=ax²+4ax+1，
联立直线y=2x和y=f（x），消去y，可得
ax²+（4a-2）x+1=0，由相切的条件可得△=（4a-2）²-4a=0，
解得a=1或a=$\frac{1}{4}$，
当a=1时，可得切点为（-1，-2），舍去．
当a=$\frac{1}{4}$时，可得切点为（2，4），
则有f（x）=$\frac{1}{4}$x²+x+1；
（2）对一切x∈[-1，1]，不等式f（x+t）＜f（$\frac{x}{2}$）恒成立，
即为$\frac{1}{4}$（x+t+2）²＜$\frac{1}{4}$（$\frac{x}{2}$+2）²，
即为（t+$\frac{x}{2}$）（t+4+$\frac{3x}{2}$）＜0，
由$\frac{x}{2}$-（4+$\frac{3x}{2}$）=-x-4＜0，
可得-$\frac{x}{2}$＞-（4+$\frac{3x}{2}$），
即有$\frac{x}{2}$＜-t＜$\frac{3x}{2}$+4在x∈[-1，1]恒成立，
则有-t＞$\frac{1}{2}$且-t＜4-$\frac{3}{2}$，
即为-$\frac{5}{2}$＜t＜-$\frac{1}{2}$．
则实数t的取值范围是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，考查函数的奇偶性和直线与抛物线相切的条件，同时考查不等式恒成立的解法，注意化简运用参数分离，属于中档题．