Question

20．若存在a∈R，使得|x+a|≤lnx+1在[1，m]上恒成立，则整数m的最大值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由题意可得-1-lnx≤x+a≤1+lnx，即-1-lnx-x≤a≤1+lnx-x，运用函数的单调性可得最值，通过m的取值，即可得到所求最大值．

解答 解：|x+a|≤lnx+1在[1，m]上恒成立，即为：
-1-lnx≤x+a≤1+lnx，即-1-lnx-x≤a≤1+lnx-x，
由y=-1-lnx-x在[1，m]上递减，可得x=1时取得最大值-2，
可得a≥-2；
由y=1+lnx-x的导数为y′=$\frac{1}{x}$-1≤0，可得在[1，m]上递减，
即有x=m时，取得最小值，且为1+lnm-m，即a≤1+lnm-m，
由1+lnm-m≥-2，即lnm≥m-3，
显然m=2，ln2＞2-3=-1；m=3，ln3＞3-3；
m=4，ln4＞4-3=1；m=5，ln5＜5-3=2．
即有整数m的最大值为4．
故选：B．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，转化为求最值的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．