Question

12．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=1，b+c=$\sqrt{6}$，且cosA=$\frac{1}{4}$，则△ABC的面积为$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数关系式可求sinA，由余弦定理解得bc，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：△ABC中，∵a=1，b+c=$\sqrt{6}$，且cosA=$\frac{1}{4}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：1=b²+c²-$\frac{1}{2}$bc=（b+c）²-$\frac{5}{2}$bc=6-$\frac{5}{2}$bc，解得：bc=2．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×$2×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．