Question

3．设函数f（x）=|x-1|，g（x）=2|x-a|，a∈R．
（1）若a=2，求不等式f（x）-g（x）≤x-3的解集；
（2）若对?m＞1，?x₀∈R，f（x）+g（x）≤$\frac{{m}^{2}+m+4}{m-1}$成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=2代入f（x），通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取交集即可；
（2）问题转化为：[f（x）+g（x）]_min≤2$\sqrt{6}$+3，设h（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+2|x-a|，通过讨论a的范围，求出h（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）若a=2，f（x）-g（x）=|x-1|-2|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{x-3，x≤1}\\{3x-5，1＜x＜2}\\{-x+3，x≥2}\end{array}\right.$，
①当x≤1时，若f（x）-g（x）≤x-3，
则x-3≤x-3，故x≤1，
②当1＜x＜2时，若f（x）-g（x）≤x-3，
则3x-5≤x-3，即x≤1，这与1＜x＜2矛盾，
③当x≥2时，若f（x）-g（x）≤x-3，
则-x+3≤x-3，即x≥3，故x≥3，
综上，不等式f（x）-g（x）≤x-3的解集是{x|x≤1或x≥3}；
（2）∵$\frac{{m}^{2}+m+4}{m-1}$=m-1+$\frac{6}{m-1}$+3≥2$\sqrt{6}$+3，（m＞1），
当且仅当m-1=$\frac{6}{m-1}$即m=$\sqrt{6}$+1时“=”成立，
原命题等价于?x∈R，f（x）+g（x）≤2$\sqrt{6}$+3成立，
即[f（x）+g（x）]_min≤2$\sqrt{6}$+3，
设h（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+2|x-a|，
①当a＜1时，h（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+2|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2a+1，x≤a}\\{x-2a+1，a＜x＜1}\\{3x-2a-1，x≥1}\end{array}\right.$．
h（x）_min=h（a）=|a-1|=1-a，
由1-a≤2$\sqrt{6}$+3，解得：a≥-2-2$\sqrt{6}$，
∴-2-2$\sqrt{6}$≤a＜1；
②当a=1时，h（x）=3|x-1|，
h（x）_min=0≤2$\sqrt{6}$+3显然成立，
③当a＞1时，h（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+2|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2a+1，x≤1}\\{-x+2a-1，1＜x＜a}\\{3x-2a-1，x≥a}\end{array}\right.$，
h（x）_min=h（a）=|a-1|=a-1，
由a-1≤2$\sqrt{6}$+3，解得：a≤2$\sqrt{6}$+4，
∴1＜a≤2$\sqrt{6}$+4，
综上，a的范围是[-2-2$\sqrt{6}$，4+2$\sqrt{6}$]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，考查运算能力，是一道中档题．