Question

8．过M（1，3）引圆x²+y²=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（　　）

• A． $\frac{32}{5}$
• B． 4
• C． $\frac{16}{5}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 作出图象易得sin∠OMB，进而可得cos∠AMB和sin∠AMB=$\frac{4}{5}$，代入三角形的面积公式计算可得．

解答 解：如图，由题意可得|OM|=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由勾股定理可得|MA|=|MB|=$\sqrt{O{M}^{2}-O{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故sin∠OMB=$\frac{OB}{OM}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠AMB=cos2∠OMB=2cos²∠OMB-1=-$\frac{3}{5}$，
故sin∠AMB=$\frac{4}{5}$，三角形面积S=$\frac{1}{2}$×|MA|×|MB|×sin∠AMB=$\frac{16}{5}$，
故选：C．

点评 本题考查圆的切线问题，涉及勾股定理和三角形的面积公式以及三角函数公式，属基础题．