Question

5．函数f（x）=asin（2x+φ）+cos（2x+φ），（a＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值为2，且f（-x）=f（x），则a，φ的取值分别为（　　）

• A． a=1，φ=$\frac{π}{3}$
• B． a=1，φ=$\frac{π}{6}$
• C． a=$\sqrt{3}$，φ=$\frac{π}{3}$
• D． a=$\sqrt{3}$，φ=$\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 由条件利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的最值求得a，利用三角函数的奇偶性、诱导公式求得φ的值，从而得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=asin（2x+φ）+cos（2x+φ）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x+φ+θ） （a＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值为2，
其中，cosθ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，sinθ=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，故$\sqrt{{a}^{2}+1}$=2，故a=$\sqrt{3}$．
可得 cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinθ=$\frac{1}{2}$，故可取θ=$\frac{π}{6}$，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ+$\frac{π}{6}$）．
再由f（-x）=f（x），可得f（x）为偶函数，故φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查辅助角公式，三角函数的奇偶性，诱导公式，属于基础题．