Question

16．已知a＞0，b＞0．求证：$\frac{（a+b）^{2}}{2}$+$\frac{a+b}{4}$≥a$\sqrt{b}$+b$\sqrt{a}$（等号成立当且仅当a=b=$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 可将$\frac{（a+b）^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}$拆成$（\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{b}{8}）+（\frac{{b}^{2}}{2}+\frac{a}{8}）+（\frac{ab}{2}+\frac{a}{8}）+（\frac{ab}{2}+\frac{b}{8}）$，对于每一项应用基本不等式，并判断等号成立的条件，这样即可得出要证明的结论．

解答 证明：$\frac{（a+b）^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}$=$（\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{b}{8}）+（\frac{{b}^{2}}{2}+\frac{a}{8}）+（\frac{ab}{2}+\frac{a}{8}）+（\frac{ab}{2}+\frac{b}{8}）$；
∵$\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{b}{8}≥\frac{1}{2}a\sqrt{b}$，当且仅当$\frac{{a}^{2}}{2}=\frac{b}{8}$，即b=4a²时取“=”；
$\frac{{b}^{2}}{2}+\frac{a}{8}≥\frac{1}{2}b\sqrt{a}$，当且仅当$\frac{{b}^{2}}{2}=\frac{a}{8}$，即a=4b²时取“=”；
$\frac{ab}{2}+\frac{a}{8}≥\frac{1}{2}a\sqrt{b}$，当且仅当$\frac{ab}{2}=\frac{a}{8}$，即b=$\frac{1}{4}$时取“=”；
$\frac{ab}{2}+\frac{b}{8}≥\frac{1}{2}b\sqrt{a}$，当且仅当$\frac{ab}{2}=\frac{b}{8}$，即a=$\frac{1}{4}$时取“=”；
∴$（\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{b}{8}）+（\frac{{b}^{2}}{2}+\frac{a}{8}）+（\frac{ab}{2}+\frac{a}{8}）$$+（\frac{ab}{2}+\frac{b}{8}）≥a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$，当且仅当a=b=$\frac{1}{4}$时等号成立；
即$\frac{（a+b）^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}≥a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$，等号成立当且仅当$a=b=\frac{1}{4}$．

点评 考查基本不等式的应用，清楚应用基本不等式的前提条件，以及等号成立的条件，不等式的性质，拆项法的应用．