Question

已知函数f（x）=10^x，且实数a，b，c满足f（a）+f（b）=f（a+b），f（a）+f（b）+f（c）=f（a+b+c），则c的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知中函数f（x）=10^x，且实数a，b，c满足f（a）+f（b）=f（a+b），可得10^-a+10^-b=1，由基本不等式可得10^-（a+b）≤，再由f（a）+f（b）+f（c）=f（a+b+c），可得10^-c≥，进而可得c的最大值
解答：解：∵f（x）=10^x，f（a）+f（b）=f（a+b），
∴10^a+10^b=10^a+b=10^a×10^b…①
∴10^-a+10^-b=1．
由基本不等式可得10^-（a+b）≤
又∵f（a）+f（b）+f（c）=f（a+b+c），
∴10^a+10^b+10^c=10^a+b+c=10^a×10^b×10^c…②
将①代入②得：10^a×10^b+10^c=10^a×10^b×10^c
∴10^-c+10^-（a+b）=1，
∴10^-c≥
∴-c≥lg
∴c≤-lg=
即c的最大值为
故答案为：
点评：本题考查的知识点是指数的运算性质，对数的运算性质，及基本不等式，其中根据已知结合基本不等式求出10^-a+10^-b=1进而得到10^-（a+b）≤是解答的关键．