Question

12．已知函数f（x）=x（lnx+1）（x＞0）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax²+f（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+2，（x＞0），
令f′（x）=0，得：x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴x∈（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）时，f′（x）＜0，
x∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）时，f′（x）＞0，
∴∴$当x=\frac{1}{e2}时，f（x）min=\frac{1}{e2}（1n\frac{1}{e2}+1）=-\frac{1}{e2}$…（6分）
（2）$F（x）=ax2+1nx+2（x＞0），f′（x）=2ax+\frac{1}{x}=\frac{2ax2+1}{x}（x＞0）$…（7分）
①2a≥0时，恒有f′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；…（9分）
②当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$…（11分）
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a?0时，F（x）在$（0，\sqrt{-\frac{1}{2a}}）$上单调递增，在$（\sqrt{-\frac{1}{2a}}，+∞）$上单调递减…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．