Question

6．在正项数列{a_n}、{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列．
（1）证明：{${\sqrt{b_n}}$}成等差数列，并求出a_n，b_n；
（2）设c_n=$\frac{1}{{{b_n}-1}}$，求数列{c_n}的前n和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：2b_n=a_n+a_n+1，$a_{n+1}^2={b_n}•{b_{n+1}}$，由b_n＞0，a_n＞0，$⇒2{（\sqrt{b_n}）^2}=\sqrt{{b_{n-1}}{b_n}}+\sqrt{{b_n}{b_{n+1}}}（n≥2）$，可得$2\sqrt{b_n}=\sqrt{{b_{n-1}}}+\sqrt{{b_{n+1}}}$，即可证明，进而得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）证明：由题意可得：2b_n=a_n+a_n+1，$a_{n+1}^2={b_n}•{b_{n+1}}$，
∵a₁=2，b₁=4，∴a₂=6，b₂=9，
b_n＞0，a_n＞0，a_n，b_n，a_n+1成等差数列$⇒2{（\sqrt{b_n}）^2}=\sqrt{{b_{n-1}}{b_n}}+\sqrt{{b_n}{b_{n+1}}}（n≥2）$，
∴$2\sqrt{b_n}=\sqrt{{b_{n-1}}}+\sqrt{{b_{n+1}}}$，
∴$\left\{{\sqrt{b_n}}\right\}$成等差数列，∴$\sqrt{b_n}=\sqrt{b_1}+（n-1）（\sqrt{b_2}-\sqrt{b_1}）$$⇒{b_n}={（n+1）^2}$，
a_n=$\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=n（n+1）．
（2）解：${c_n}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}-1}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
${S_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．