Question

（2011•东城区模拟）已知椭圆的右顶点为A，离心率e=

1

2

，过左焦点F（-1，0）作直线l与椭圆交于点P，Q，直线AP，AQ分别与直线x=-4交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明以线段MN为直径的圆经过焦点F．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由离心率e=

1

2

，过左焦点F（-1，0），可求得 c=1，a=2，从而可求b=

3

，进而可得椭圆方程；
（Ⅱ） 斜率存在时，设直线l方程为 y=k（x+1），与椭圆方程联立，消去y 整理得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．进而可求M，N的坐标，从而可证 

FM

•

FN

=0；斜率不存在时，同理可证 

FM

•

FN

=0，从而以线段MN为直径的圆经过定点F

解答：解：（Ⅰ）由已知 c=1，

c

a

=

1

2

，
∴a=2，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．--------------（5分）
证明：（Ⅱ） 设直线l方程为 y=k（x+1），
由  

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．-----（7分）
设M（-4，y_M），N（-4，y_N），则由A，P，M共线，得

yM-y1

-4-x1

=

y1

x1-2

，有 y_M=-

6y1

x1-2

．同理 y_N=-

6y2

x2-2

．
∴y_My_N=

36y1y2

(x1-2)(x2-2)

=

36k2[x1x2+(x1+x2)+1]

x1x2-2(x1+x2)+4

．------（9分）

FM • FN =(-3，yM)•(-3，yN)=9+yMyN =9+ 36k2[x1x2+(x1+x2)+1] x1x2-2(x1+x2)+4 =9+ 36k2[ 4k2-12 3+4k2 - 8k2 3+4k2 +1] 4k2-12 3+4k2 +2 8k2 3+4k2 +4 =9- 9×36k2 36k2 =0.

∴

FM

⊥

FN

，即FM⊥FN，以线段MN为直径的圆经过点F；----（12分）

当直线l的斜率不存在时，不妨设M（-4，3），N（-4，-3）．则有

FM

•

FN

=(-3，3)•(-3，-3）=9-9=0，
∴

FM

⊥

FN

，即FM⊥FN，以线段MN为直径的圆经过点F．
综上所述，以线段MN为直径的圆经过定点F．-----------（14分）

点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，同时考查向量与解析几何的交汇，综合性强．