Question

14．设f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，且对定义域内任意x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，求使不等式f（x）+f（x-3）≤2成立的取值范围．

Answer 1

分析 利用赋值法先求出f（4）=2，结合函数的单调性进行转化求解即可．

解答 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=1+1=2，
则不等式f（x）+f（x-3）≤2等价为f[x（x-3）]≤f（4）．
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{x（x-3）≤4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{{x}^{2}-3x-4≤0}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{-1≤x≤4}\end{array}\right.$解得3＜x≤4，
故不等式f（x）+f（x-3）≤2成立的取值范围是（3，4]．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性之间的关系是解决本题的关键．