Question

11．已知向量$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$cosωx，-1），$\overrightarrow b$=（sinωx，cos²ωx+$\frac{1}{2}$），（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，而且满足sinB=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用平面向量的坐标运算及三角函数恒等变换的应用可得f（x）=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）-1$，由周期公式可求ω，从而可得函数解析式，令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，即可求得函数的单调递增区间．
（II）由已知及正弦定理得b=2a，$C=\frac{π}{3}$，利用余弦定理可求a，b的值，进而利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（I）由于$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$
=$\sqrt{3}cosωx•sinωx-{cos^2}ωx-\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1+cos2ωx}{2}-\frac{1}{2}$
=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）-1$，
由已知地得$T=\frac{2π}{2ω}=π$，
所以，ω=1，
所以，$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）-1$
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}（k∈Z）$，
所以，函数f（x）的单调递增区间是$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]（k∈Z）$．
（II）由已知及正弦定理可得$b=2a，sin（2C-\frac{π}{6}）-1=0$，
所以，$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，得$C=\frac{π}{3}$，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，即3=a²+b²-ab，
又b=2a，解得a=1，b=2
所以，△ABC的面积为${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×1×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查了平面向量的坐标运算及三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．