Question

6．如图，已知圆O：x²+y²=4与轴正半轴交于点P，A（-1，0），B（1，0），直线l与圆O切于点S（l不垂直于x轴），抛物线过两点A，B且以l为准线．
 （1）当点S在圆周上运动时，求证：抛物线的焦点Q始终在某一椭圆C上，并求出该椭圆C的方程；
（2）设M．N是（1）中椭圆C上除短轴端点外的不同两点，且$\overrightarrow{PM}$=t$\overrightarrow{PN}$（t∈R），问：△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设Q（x，y），作AA′，BB′垂直于直线l，A′，B′为垂足，连结AQ，BQ，OS，则OS⊥l，由椭圆的定义知焦点Q在以AB为焦点的椭圆上，由此能求出抛物线的焦点Q的轨迹方程；
（2）由已知P，M，N三点共线，设直线PN的方程为y=kx+2，代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、均值定理，能求出△MON的面积的最大值．

解答 解：（1）设Q（x，y），如图，
作AA′，BB′垂直于直线l，A′，B′为垂足，
连结AQ，BQ，OS，则OS⊥l，
∵OS是直角梯形AA′B′B的中位线，
∴|AA′|+|BB′|=2|OS|，
由抛物线的定义知|AA′|=|AQ|，|BB′|=|BQ|，
∵|QA|+|QB|=|AA′|+|BB′|=2|OS|=4＞2=|AB|，
由椭圆的定义知焦点Q在以AB为焦点的椭圆上，
且2a=4，2c=2，∴b²=3，
∴抛物线的焦点Q的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（去掉与x轴的交点）．
（2）∵$\overrightarrow{PM}$=t$\overrightarrow{PN}$（t∈R），
∴P，M，N三点共线，
由题意，直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=kx+2，
代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
由△=（16k）²-16（3+4k²）＞0，得|k|＞$\frac{1}{2}$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-1}}{3+4{k}^{2}}$，
原点O到直线PN的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$|MN|•d=4$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-1}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4{k}^{2}-1}+\frac{4}{\sqrt{4{k}^{2}-1}}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{\sqrt{4{k}^{2}-1}•\frac{4}{\sqrt{4{k}^{2}-1}}}}$=$\sqrt{3}$，
当且仅当$\sqrt{4{k}^{2}-1}$=$\frac{4}{\sqrt{4{k}^{2}-1}}$，即k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，取等号．
∴△MON的面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想．