Question

18．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+2x+2}$．若方程f（x）=x-1有三个不同实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 判断函数f（x）的定义域为R，方程f（x）=x-1即为a=（x-1）（x²+2x+2）-x=x³+x²-x-2，令g（x）=x³+x²-x-2，求出导数，求得单调区间，极值，由题意可得a介于极小值和极大值之间．

解答 解：由于x²+2x+2＞0恒成立，则f（x）的定义域为R，
由函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+2x+2}$，
方程f（x）=x-1即为
a=（x-1）（x²+2x+2）-x=x³+x²-x-2，
令g（x）=x³+x²-x-2，
则g′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
令g′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{3}$或x＜-1，
令g′（x）＜0可得-1＜x＜$\frac{1}{3}$．
即有g（x）的增区间为（-∞，-1），（$\frac{1}{3}，+∞$），
减区间为（-1，$\frac{1}{3}$），
则g（x）的极小值为g（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{59}{27}$，
极大值为g（-1）=-1．
方程f（x）=x-1有三个不同实数根，
即为直线y=a和函数y=g（x）有三个交点．
可得a的取值范围是（-$\frac{59}{27}$，-1）．

点评 本题考查方程的根的个数，运用参数分离，转化为直线与函数的图象的交点个数，考查函数的极值求法，属于中档题．