Question

19．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB=90°的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数的表达式，列出方程组，考查即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线和x轴交点的坐标，求出直线的解析式，从而求出M点的坐标；
（3）法一：先求出直线BC的解析式，进而求出PC的解析式，从而求出P点的坐标，法二：根据勾股定理求出即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则有：$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ c=-3\\-\frac{b}{2a}=1\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）令x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
所以B点坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=-3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-3\end{array}\right.$，
所以直线解析式是y=x-3；
当x=1时，y=-2，所以M点的坐标为（1，-2）．
（3）方法一：要使∠PBC=90°，
则直线PC过点C，且与BC垂直，
又直线BC的解析式为y=x-3，
所以直线PC的解析式为y=-x-3，当x=1时，y=-4，
所以P点坐标为（1，-4）．
方法二：设P点坐标为（1，y），
则PC²=1²+（-3-y）²，BC²=3²+3²；PB²=2²+y²
由∠PBC=90°可知△PBC是直角三角形，且PB为斜边，
则有PC²+BC²=PB²．
所以：[1²+（-3-y）²]+[3²+3²]=2²+y²；解得y=-4，
所以P点坐标为（1，-4）．

点评 本题考查了二次函数的性质的综合应用，考查求函数的解析式问题，是一道中档题．